Question

7．如图，已知点D、F分别是△ABC的边BC上两点，点E是边AC上一点，∠BFE=∠FEA，AB=13，AD=12，BD=5，AE=10，DF=4．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理的逆定理即可而出结论；
（2）由∠BFE=∠FEA得出∠CFE=∠CEF，故CF=CE．设CE=CF=x，根据勾股定理求出x的值，再由三角形的面积公式即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AB=13，AD=12，BD=5，
∴AB²=BD²+AD²=169，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．

（2）解：∵∠BFE=∠FEA，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE．
设CE=CF=x，
∵∠ADC=90°，
∴AD²+CD²=AC²，即12²+（x+4）²=（10+x）²，
解得x=5，
∴BC=5+4+5=14，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=84．

点评 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．