Question

在△ABC中，AD平分角∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B=40°，∠ACB=80°，则∠E=

 

．
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系．并证明．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．

解答： 解：（1）如图，

∵∠B=40°，∠ACB=80°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ADC=70°，
∴∠E=20°；

（2）∠E=

1

2

（∠ACB-∠B）．
证明：设∠B=n°，∠ACB=m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2=

1

2

∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∵∠B=n°，∠ACB=m°，
∴∠CAB=（180-n-m）°，
∴∠BAD=

1

2

（180-n-m）°，
∴∠3=∠B+∠1=n°+

1

2

（180-n-m）°=90°+

1

2

n°-

1

2

m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°，
∴∠E=90°-（90°+

1

2

n°-

1

2

m°）=

1

2

（m-n）°=

1

2

（∠ACB-∠B）．

点评：此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．灵活利用三角形内角和180°解决问题．