Question

8．有一块直角三角形绿地，量得两直角边分别为6m，8m，现在要将扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的，求扩充后等腰三角形的周长．

Answer 1

分析 根据勾股定理求出斜边AB，（1）当AB=AD时，求出CD即可；（2）当AB=BD时，求出CD、AD即可；（3）当DA=DB时，设AD=x，则CD=x-6，求出即可．

解答 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
由勾股定理有：AB=10，应分以下三种情况：
①如图1，当AB=AD=10时，

∵AC⊥BD，
∴CD=CB=6m，
∴△ABD的周长=10+10+2×6=32m．
②如图2，当AB=BD=10时，

∵BC=6m，
∴CD=10-6=4m，
∴AD=$\sqrt{A{C^2}+D{C^2}}$=$\sqrt{{8^2}+{4^2}}$=$4\sqrt{5}$m，
∴△ABD的周长=10+10+$4\sqrt{5}$=（20+$4\sqrt{5}$）m．
③如图3，当AB为底时，

设AD=BD=x，则CD=x-6，由勾股定理得：AD=$\sqrt{\begin{array}{l}{{8^2}+{{（{x-6}）}^2}}\end{array}}$=x，
解得x=$\frac{25}{3}$，
∴△ABD的周长为：AD+BD+AB=$\frac{80}{3}$m．
综上所述：扩充后等腰三角形绿地的周长为32m或（20+$4\sqrt{5}$）m或$\frac{80}{3}$m．

点评 本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．