Question

7．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：
①EF=BE+CF；
②∠BGC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
③点G到△ABC各边的距离相等；
④设GD=m，AE+AF=n，则S_△AEF=mn．
其中正确的结论是①②③．

Answer 1

分析 ①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出结论；
②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；
③根据三角形内心的性质即可得出结论；
④连接AG，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，
∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，
∴BE=EG，GF=CF，
∴EF=EG+GF=BE+CF，故本小题正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，故本小题正确；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴点G是△ABC的内心，
∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；
④连接AG，
∵点G是△ABC的内心，GD=m，AE+AF=n，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•GD+$\frac{1}{2}$AF•GD=$\frac{1}{2}$（AE+AF）•GD=$\frac{1}{2}$nm，故本小题错误．
故答案为：①②③．

点评 本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解答此题的关键．