Question

14．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S_△PAB=10，求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A与B的坐标代入抛物线的解析式即可求出b与c的值．
（2）根据图象即可求出y的取值范围．
（3）设P（x，y），△PAB的高为|y|，AB=4，由S_△PAB=10列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标．

解答 解：（1）将A（-1，0）和B（3，0）代入y=-x²+bx+c
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-1-b+c}\\{0=-9+3b+c}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3
∴顶点坐标为：（1，4）
（2）由于抛物线的对称轴为：x=1，
∴0＜x＜3时，
∴0＜y≤4
（3）设P（x，y）
∴△PAB的高为|y|，
∵A（-1，0）、B（3，0）
∴AB=4
∵S_△PAB=10，
∴$\frac{1}{2}$×4×|y|=10
∴y=±5，
当y=5时，
∴5=-x²+2x+3
此时方程无解，
当y=-5时，
∴-5=-x²+2x+3，
解得：x=4或x=-2，
∴P（4，-5）或（-2，-5）

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，解方程等知识，属于中等题型．