Question

如图，已知BD、CE是△ABC的角平分线，其交点为O，OF⊥BC于点F．求证：∠BOF=∠BEC-

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∠A．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：证明题

分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BEC，然后表示出∠BEC-

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∠A，再根据直角三角形两锐角互余表示出∠BOF，然后利用三角形的内角和定理表示出90°，整理即可得证．

解答：证明：∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE=

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∠ACB，
由三角形的外角性质得，∠BEC=∠ACE+∠A=

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∠ACB+∠A，
∴∠BEC-

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∠A=

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2

∠ACB+

1

2

∠A，
∵OF⊥BC，
∴∠BOF=90°-∠OBF=90°-

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∠ABC，
由三角形的内角和定理得，90°=

1

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∠A+

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∠ABC+

1

2

∠ACB，
∴

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2

∠ACB+

1

2

∠A=90°-

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∠ABC，
∴∠BOF=∠BEC-

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∠A．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记定理与性质并准确识图表示出∠BEC-

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∠A是解题的关键．