Question

10．如图，P、Q是正方形ABCD边AB、BC上的点，BH⊥PC，垂足为H，且DH⊥HQ．
（1）证明：$\frac{BQ}{DC}$=$\frac{BH}{CH}$；
（2）试猜想BP与BQ的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据BH⊥PC，DH⊥HQ，得到∠BHC=∠QHD=90°，证得∠BHQ=∠CHD，推出△BQH∽△CDH，于是得到结论；
（2）由∠ABC=∠BHP=90°，得到∠PBH=∠BCP，推出△PBH∽△BHC，得到$\frac{PB}{BC}$=$\frac{BH}{CH}$，由（1）知$\frac{BQ}{DC}$=$\frac{BH}{CH}$，等量代换得到$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{CD}$，由于BC=CD，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵BH⊥PC，DH⊥HQ，
∴∠BHC=∠QHD=90°，
∴∠BHC-∠QHC=∠CHD-∠QHC，
即：∠BHQ=∠CHD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ABC=90°，BC=CD，
∴∠DCH+∠BCH=∠HBC+∠BCH=90°，
∴∠DCH=∠HBC，
∴△BQH∽△CDH，
∴$\frac{BQ}{DC}$=$\frac{BH}{CH}$；

（2）解：BP=BQ，
理由：∵∠ABC=∠BHP=90°，
∴∠HPB+∠PBH=∠HBP+∠HBC=90°，
∴∠PBH=∠BCP，
∴△PBH∽△BHC，
∴$\frac{PB}{BC}$=$\frac{BH}{CH}$，
由（1）知$\frac{BQ}{DC}$=$\frac{BH}{CH}$，
∴$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{CD}$，
∵BC=CD，
∴PB=BQ．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．