题目内容
18．
如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线C1的一部分与经过点A、D、B的抛物线C2的一部分组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线叫做“蛋线”．已知点C的坐标为（0，-$\frac{3}{2}$），点M是抛物线C2：y=-x2+2x+3的顶点．（1）求A、B、M三点的坐标；
（2）求抛物线C1的解析式；
（3）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）在解析式y=-x2+2x+3中令y=0，可求得A、B坐标，再化为顶点式可求得M点坐标；
（2）利用A、B、C三点的坐标，由待定系数法可求得C1的解析式；
（3）存在，设点P的坐标为（n，$\frac{1}{2}$n2-n-$\frac{3}{2}$），则可表示出△PBC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．
解答 题
（1）在y=-x2+2x+3中令y=0，可得-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴M（1，4）；
（2）设C1解析式为y=ax2+bx+c，
将A、B、C三点的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线C1解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-x-$\frac{3}{2}$；
（3）存在．
设点P的坐标为（n，$\frac{1}{2}$n2-n-$\frac{3}{2}$）（0＜n＜3），
则S△PBC=S△POC+S△BOP-S△BOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×n+$\frac{1}{2}$×3×（-$\frac{1}{2}$n2+n+$\frac{3}{2}$）-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{4}$（n-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{27}{16}$，
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴当n=$\frac{3}{2}$时，S△PBC有最大值，最大值是$\frac{27}{16}$．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、三角形的面积及新定义等知识．在（1）中注意函数图象与坐标轴的交点的求法及顶点式，在（2）中注意待定系数法的应用步骤，在（3）中用P点坐标表示出△PBC的面积，从而得到二次函数解析式是解题的关键．本题考查知识点不是太多，综合性较强，但难度不大，相对容易得分．
如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CN=MB其中正确的结论是①②③④（将你认为正确的结论序号都填上）
如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，EC的垂直平分线恰好经过点B．求∠A的度数．