Question

20．如图，AB=AC，∠ABD=∠CAF，∠F=∠BDC=60°．求证：BD+CF=AF．

Answer 1

分析 在AF上截取FE=CF，连接CE，证出△CEF是等边三角形，得出∠CEF=60°，证出∠AEC=120°=∠BDA，由AAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等BD=AE，即可得出结论．

解答 证明：在AF上截取FE=CF，连接CE，如图所示：
∵∠F=∠BDC=60°，
∴△CEF是等边三角形，∠BDA=120°，
∴∠CEF=60°，
∴∠AEC=120°=∠BDA，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}&{\;}\\{∠ABD=∠CAF}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=AE，
∴BD+CF=AE+EF=AF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．