Question

已知二次函数y=（m-2）x²+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）求证：对任意实数p，点P（p，-p²）都不在这个二次函数的图象上．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）直接把点（0，5）坐标代入二次函数解析式中得到关于m的方程，然后解方程求得m的值，把m的值代入y=（m-2）x²+（m+3）x+m+2即可求得二次函数的解析式；
（2）把二次函数的解析式化成顶点式即可；
（3）把点P（p，-p²）代入已求出的二次函数的解析式中，得到关于p的一元二次方程，若方程有解则在二次函数的图象上；无解则不在这个二次函数的图象上．

解答：解：（1）把（0，5）代入y=（m-2）x²+（m+3）x+m+2得m+2=5，
解得m=3．
所以二次函数的解析式：y=x²+6x+5；

（2）∵y=x²+6x+5=（x+3）²-4，
∴二次函数图象的顶点坐标为（-3，-4），对称轴为x=-3；

（3）证明：若点P（p，-p²）在这个二次函数的图象上．
则-p²=p²+6p+5，
得2p²+6p+5=0，
因为该方程根的判别式：36-40=-4＜0，方程无解，
所以，对任意实数p，点P（p，-p²）都不在这个二次函数的图象上

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线的顶点坐标和对称轴，根据判别式△的值得出函数图象与x轴的交点的个数．