Question

如图，矩形OABC中，A（6，0），C（0，），D（0，），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足∠PQO=60°．
（1）①点B的坐标是______

Answer 1

【答案】分析：（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；
（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案．
解答：解：（1）①∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），
∴点B的坐标为：（6，2）；

②∵tan∠CAO===，
∴∠CAO=30°；

③如图1：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3），
∴PE=3，
∴AE==3，
∴OE=OA-AE=6-3=3，
∴点P的坐标为（3，3）；
故答案为：①（6，2），②30，③（3，3）；

（2）当0≤x≤3时，
如图2，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由题意可知直线l∥BC∥OA，
可得====，
EF=（3+x），
此时重叠部分是梯形，其面积为：
S_梯形=（EF+OQ）•OC=（3+x）；
如图3，当3＜x≤5时，∵AQ=OI+IQ-OA=x+3-6=x-3，
则AH=（x-3），
则S=S_梯形EFQO-S_△HAQ=S_梯形EFQO-AH•AQ
=（3+x）-（x-3）²，
=-x²+x-
如图4，当5＜x≤9时，∵CE∥DP，
∴=，
∴=，
∴CE=x，
∴BE=6-x，
∴S=（BE+OA）•OC=（12-x），
如图5，当9＜x时，∵AH∥PI，
∴=，
∴=，
∴AH=，
∵AO=6，
∴S=OA•AH=．
点评：此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．