题目内容
16．如图1，AO为△ABC的高线，OB=OC=1，OA=3．（1）求证：∠ABC=∠ACB；
（2）如图2，D为CB延长线上一点，BD=2，过D作DE⊥AC于E，DE交OA于F，交AB于G，求OF的长度；
（3）如图3，P为AC边上一动点，Q为AB延长线上一动点，且CP=BQ，连接PQ交BC于点M，过P作PN⊥BC于点N．当P点运动时，线段MN的长度是否发生变化？若不变，求出它的长度；若变化，确定其变化范围．
分析 （1）证明△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质证明；
（2）证明△ABO≌△DFO，根据全等三角形的性质解答即可；
（3）作QE⊥BC交CB的延长线于E，证明△EBQ≌△CNP，得到EB=CN，EQ=PN，根据平行线的性质得到EM=MN，求出MN即可．
解答 
解：（1）∵AO为△ABC的高线，
∴∠AOB=∠AOC=90°，
在△AOB和△AOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠AOB=∠AOC}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠ABC=∠ACB；
（2）∵DE⊥AC，
∴∠C+∠D=90°，
∵AO为△ABC的高线，
∴∠D+∠DFO=90°，
∴∠C=∠DFO，
∴∠ABO=∠DFO，
∵BD=2，OB=1，OA=3，
∴OD=AO，
在△ABO和△DFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠DFO}\\{∠AOB=∠DOF}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DFO，
∴OF=OB=1；
（3）如图3，作QE⊥BC交CB的延长线于E，
∵∠ABC=∠C，∠EBQ=∠ABC，
∴∠EBQ=∠C，
在△EBQ和△CNP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBQ=∠C}\\{∠BEQ=∠CNP=90°}\\{BQ=CP}\end{array}\right.$，
∴△EBQ≌△CNP，
∴EB=CN，EQ=PN，
∴EM=EB+BM=CN+BM，
∵EQ∥PN，EQ=PN，
∴EM=MN，
∴MN=CN+BM=$\frac{1}{2}$BC=1，
则线段MN的长度不变化，它的长度是1．
点评 本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的高、中线的概念，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
如图，为了测量某大桥的桥塔高度AB，在与桥塔底部B相距50米的C处，用高1米的测角仪DC测得桥塔顶端A的仰角为41.5°，求桥塔AB的高度．（结果精确到0.1米）
如图，△ABC中，D是AB边上的一点，在下列三个关系：①∠ACB=90°；②AC=CD；③∠ACD=2∠B中，取两个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并写出证明过程．
某种商品的商标图案是如图所示的阴影部分，已知菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°．$\widehat{BD}$是以A为圆心．AB为半径的弧．$\widehat{CD}$是以B为圆心．BC为半径的弧，求该商标图案的面积．
如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D与点B重合，点C落在点C′的位置上，若∠BFE=67.5°，AE=2．
如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1+∠2=140°，则∠B+∠C=110°．
如图，△ABC是锐角三角形，∠C=α，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，连接DE．则S△DEC：S△ABC=（ ）| A． | cos2α | B． | $\frac{1}{co{s}^{2}α}$ | C． | sin2α | D． | tan2α |
如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格中有一个△ABC，请在网格中画一个顶点在小正方形的格点上，且与△ABC相似的面积最大的△A'B'C'，并求出它的面积S．