Question

19．小明在学习13.2画轴对称图形这一节时，利用直尺和圆规完成了画一个点关于直线的对称点，其步骤如下：
已知：点C在直线l外．
求作：点D，使点D与点C关于直线l对称．
作法：如图①，（1）在直线l上取点A、B（点A、B不重合）
（2）分别以点A、B为圆心，以AC、BC为半径画弧，两弧交于点D．
（3）所以点D为所求．
根据小明的作法，解答下列问题：
（1）如图②，连接AC、BC、BD、AD，求证：AB平分∠CAD；
（2）若点C到直线l的距离是a，AB=b，求四边形ACBD的面积．

Answer 1

分析 （1）利用“SSS”证△ABC≌△ABD可得答案；
（2）利用AC=AD、AB平分∠CAD知AB⊥CD、CD=2a，根据S_{四边形ACBD}=2S_△ADC可得答案．

解答 解：（1）在△ABC和△ABD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{AB=AB}\\{BC=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ABD（SSS），
∴AC平分∠CAD；

（2）∵AC=AD，AB平分∠CAD，
∴AB⊥CD，CD=2a，
∴S_{四边形ACBD}=2S_△ADC=2×$\frac{1}{2}$ab=ab．

点评 本题主要考查轴对称变换的作图、全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质得到AB平分∠CAD、AB⊥CD，CD=2a是解题的关键．