已知:Rt△ABC中.∠C=90°.BC=a.AC=b.AB=c.在三角形内裁剪正方形.使正方形四个顶点恰好在三角形的边上.共有两种裁法:.若a=6.b=8.且正方形两条边在直角边上.试求正方形的边长x,.若a=6.b=8.且正方形一条边在斜边上.试求正方形的边长y,(3)对于任意Rt△ABC.若c为斜边.以裁法1得到的正方形面积S1和以裁法2得到的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

已知：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，在三角形内裁剪正方形，使正方形四个顶点恰好在三角形的边上，共有两种裁法：
（1）裁法1，如图（1），若a=6，b=8，且正方形两条边在直角边上，试求正方形的边长x；
（2）裁法2，如图（2），若a=6，b=8，且正方形一条边在斜边上，试求正方形的边长y；
（3）对于任意Rt△ABC，若c为斜边，以裁法1得到的正方形面积S₁和以裁法2得到的正方形面积S₂，试猜想S₁与S₂的大小，并证明你的结论．

分析（1）裁法1的正方形的边长为x，由EF∥BC，于是得到△AEF∽△ABC，所以$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$即可得到x=$\frac{24}{7}$；
（2）根据勾股定理得到c=10，设斜边上的高为h，根据三角形的面积公式的ab=ch，求出h=4.8得到比例式$\frac{y}{10}=\frac{4.8-y}{4.8}$，即可得到y=$\frac{120}{37}$；
（3）由（1）知，$\frac{x}{a}=\frac{b-x}{b}$，得到x=$\frac{ab}{a+b}$，由（2）知$\frac{y}{c}=\frac{\frac{ab}{c}-y}{\frac{ab}{c}}$，得到y=$\frac{ab}{c+\frac{ab}{c}}$，于是得到$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{{c}^{2}+ab-（a+b）c}{abc}=\frac{（c-a）（c-b）}{abc}$，由于c＞a，c＞b，于是得到（c-a）（c-b）＞0，求出$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$＞0，得到x＞y，即可得到结论．

解答解：（1）裁法1的正方形的边长为x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AF}{AC}$，
∴$\frac{x}{6}=\frac{8-x}{8}$，
∴x=$\frac{24}{7}$；

（2）∵a=6，b=8，
∴c=10，
设斜边上的高为h，根据三角形的面积公式的ab=ch，
∴h=4.8，
∵裁法2的正方形的边长y，则$\frac{y}{10}=\frac{4.8-y}{4.8}$，
解得：y=$\frac{120}{37}$，

（3）S₁＞S₂，理由：
由（1）知，$\frac{x}{a}=\frac{b-x}{b}$，得bx=ab-ax，
∴x=$\frac{ab}{a+b}$，
由（2）知$\frac{y}{c}=\frac{\frac{ab}{c}-y}{\frac{ab}{c}}$，得y=$\frac{abc}{{c}^{2}+ab}$，
即y=$\frac{ab}{c+\frac{ab}{c}}$，
∴$\frac{1}{y}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{c+\frac{ab}{c}}{ab}-\frac{a+b}{ab}$=$\frac{c+\frac{ab}{c}-（a+b）}{ab}$=$\frac{{c}^{2}+ab-（a+b）c}{abc}=\frac{（c-a）（c-b）}{abc}$，
∵c＞a，c＞b，
∴（c-a）（c-b）＞0，
∴$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$＞0，
∴$\frac{1}{y}＞\frac{1}{x}$，
∴x＞y，即裁法1得到的正方形边长＞裁法2得到的正方形边长，
∴S₁＞S₂．

点评本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，熟练掌握各性质定理是解题的关键．

	A．	锐角和钝角一定互补		B．	一个角的补角一定大于这个角
	C．	两点可以确定无数条直线		D．	钝角的补角一定是锐角

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