Question

在正方形ABCD中，AB=4，动点E在AB上（0＜EA＜2），现将正方形沿着过E点的直线翻折，使得点B落在边AD上的点F，翻折后边BC所在的直线与DC交于G．
（1）求证：△EAF∽△FDG；
（2）试探究：在点E运动的过程中，△FDG的周长是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出它的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）易证∠DFG=∠AEF，即可证明△EAF∽△FDG；
（2）不变；理由：设BE=x，FA=y，根据勾股定理可得EF²=AE²+AF²，即可求得y²=-64+16x，根据△EAF∽△FDG可得

FD

AE

=

C△DFG

C△AEF

，即可求得C_△DFG=

64-y2

8-x

，即可解题．

解答：证明：（1）∵∠EFA+∠AEF=90°，∠EFA+∠DFG=90°，
∴∠DFG=∠AEF，
∵∠A=∠D=90°，
∴△EAF∽△FDG；

（2）解：不变；
理由：设BE=x，FA=y，
在RT△AEF中，EF²=AE²+AF²，∴x²=（8-x）²+y²，
∴y²=-64+16x，
∵△EAF∽△FDG，
∴

FD

AE

=

C△DFG

C△AEF

，
∴

8-y

8-x

=

C△DFG

8+y

，
∴C_△DFG=

64-y2

8-x

=16，
∴△FDG的周长不变．

点评：本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例等于周长比的性质，本题中求证△EAF∽△FDG是解题的关键．