Question

如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．

（1）判断△AOG的形状，并予以证明；

（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；

（3）在（2）的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM=45°，BM交y轴于P，若点B的坐标为（3，1），求点M的坐标．

Answer 1

解：（1）等腰三角形，证明略.  

（2）解法一：设BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，

             易证AN=CK=BK，△ANG≌△BKG，∴AG=BG，

             又易证AG=OG，故设∠OAG=∠AOG=x，

             ∠GOB=∠GBO=y，∴2x+2y=180°，x+y=90°，

             ∴AO⊥BO.

     解法二：连BC，∵B、C关于y轴对称，AC//y轴，∴AC⊥BC，

             易证△COD≌△BOE（HL），∴∠DCO=∠ABO，

             ∴∠BAC+∠BOC=180° ，设∠BAO=∠CAO=x，

             ∠OBC=∠OCB=y，∴2x+∠BOC=180° ，

             又2y+∠BOC=180° ，∴x=y，故∠OAC=∠OBC，

            ∴∠AOB=∠ACB=90°，∴AO⊥OB. ……   ……7′

（3）连BC，则∠ACB=90°，∵∠ACM=45° ，∴CM平分∠ACB，又AM平分∠BAC，∴BM平分∠ABC，设∠ABM=∠CBM=z，由（2）可得∠OMB=x+z， ∠OBM=y+z=x+z  ∴∠OMB=∠OBM，∴OM=OB 故△OBM为等腰直角△，作MG⊥x轴于G，BH⊥x轴于H，易证△OMG≌△OBH，∴OG=BH=1，MG=OH=3∴M(-1，3).…