Question

如图1，直角△ABC中，BC=6，AC=10，∠ABC=90°，点O是BC的中点，点P在CB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC匀速运动，到达C点后，立即以原速度沿CO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PC匀速运动．若点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中，以EF为直角边作等腰直角△EFG，使∠FEG=90°，且△EFG和△ABC在射线CP的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）如图2，当t=0时，等腰直角△EFG的直角边EG交AC于点M，求线段GM的长；
（2）在整个运动过程中，设等腰直角△EFG和△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）在整个运动过程中，是否存在这样的t，使点C、O、M三点构成的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）首先根据勾股定理在Rt三角形ABC中求得AB的值，然后利用对应线段成比例求得OM=4，从而求得GM=OG-OM=6-4=2；
（2）分当0≤t＜3时、3≤t＜

24

5

时、

24

5

≤t＜6时，三种情况分类讨论即可确定函数关系式；
（3）存在．根据当0≤t＜

24

5

，△COM才可能存在，然后分当0≤t＜3时、当3≤t≤4.8时求得t值，当t=3时，点C、M重合在一起，此时点C、O，M三点不能构成三角形．

解答：解：（1）当t=0时，OF=OB+BF=6，如图1所示，
∠GFO=∠FGO=45°，
∴OG=OF=6，
在Rt三角形ABC中AB=

AC2-BC2

=8，
由

OM

AB

=

OC

BC

得：OM=4，
∴GM=OG-OM=6-4=2；

（2）当0≤t＜3时，如图2所示，
S=

1

2

×6²-

1

2

（3-t）²-

1

42

（6+4t）²
=-

37

42

t²+

13

7

t+

177

14

；
当3≤t＜

24

5

时，如图3所示，
S=

1

2

（12-2t）²-

1

42

（48-10t）²
=-

8

21

t²-

8

7

t+

120

7

；
当

24

5

≤t＜6时，如图4所示，
S=

1

2

（12-2t）²
=2t²-24t+72；

（3）存在，理由如下：由（2）知，只有当0≤t＜

24

5

，△COM才可能存在，
当0≤t＜3时如图5所示，MC=

5

3

（3-t），MO²=t²+

16

9

(3-t)2
若CM=CO，则有

5

3

（3-t）=3，t=

6

5

，
若MO=MC，则有OE=CE，即t=3-t，t=

3

2

；
若CO=MO，则有t²+

16

9

(3-t)2=3²，解得t=

21

25

或t=3（舍去）
当3≤t≤4.8时，如图6所示，
MC=

5

3

（3-t），MO²=（6-t）²+

16

9

(3-t)2
若CM=CO，则有

5

3

（t-3）=3，t=

24

5

，
若MO=MC，则有OE=CE，即6-t=t-3，t=

9

2

；
若CO=MO，则有（6-t）²+

16

9

(3-t)2=3²，解得t=

129

25

（舍去）或t=3．
当t=3时，点C、M重合在一起，此时点C、O，M三点不能构成三角形．
综上所述，存在5个这样的值，使△COM是等腰三角形即：t=

6

5

或t=

3

2

或t=

21

25

或t=

24

5

或t=

9

2

．

点评：本题考查了相似三角形的综合知识，解题的关键是分类讨论，难度较大，是中考题中的压轴题．