Question

利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为10米的圆，问如何设计（求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽），才能使矩形花坛的面积最大？

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,矩形的性质

专题：综合题,方案型

分析：先画出几何图，再设AD=xm，则PQ=AD=xm，这样可表示出O₁E，O₁O₂，可得到AB，最后表示出矩形的面积S_矩形ABCD=x•2

400-x2

，（0＜x＜20），两边平方后去根号，然后利用二次函数的顶点式求出满足条件的x的值，这样确定矩形的各边，得到设计方案．

解答：解：如图，
O₁，O₂是两个喷水器的喷水区域为半径为10米的圆的圆心，ABCD是设计的矩形花坛；设AD=xm，则PQ=AD=xm．
在直角三角形O₁EQ中，O₁E=

O1Q2-EQ2

=

102-( x 2 )2

=

1

2

400-x2

，
∴圆心距O₁O₂=2O₁E=

400-x2

，AB=2O₁O₂=2

400-x2

，
∴S_矩形ABCD=x•2

400-x2

，（0＜x＜20），
∴S²_矩形ABCD=4x²（400-x²）=-4（x²-200）²+160000．
∴当x²=200，S²_矩形ABCD有最大值．此时x=10

2

m，S的最大值为400．
因此符合要求的设计是两个喷水器的距离为O₁O₂=2O₁E=

400-x2

=

400- 200

=10

2

m，矩形的两边长AD=10

2

m，AB=20

2

m，
矩形花坛的面积最大．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆和等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了矩形的性质和运用二次函数求最值的方法．