Question

如图，等边△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且BD=2DC，CE=2EA，AF=2FB，AD与BE相交于点P，BE与CF相交于点Q，CF与AD相交于点R，则AP：PR：RD=

 

．若△ABC的面积为1，则△PQR的面积为

 

．

Answer 1

考点：面积及等积变换,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）过点C作CG∥PE，交AD的延长线于G，如图1，易证△ADC≌△CFB，从而可证到∠DRC=60°，进而可证到△GRC是等边三角形．易证△AEP≌△CDR，从而可得AP=CR，PE=RD．设AP=x，由CG∥PE可得到△APE∽△AGC，运用相似三角形的性质可用x的代数式表示出AG、PR、PE（即RD）的长，就可解决问题．
（2）连接PC，如图2，易证△PQR是等边三角形，从而得到QR=PR=RC，从而有S_△PQR=S_△PRC，然后只需求出

S△CPR

S△CAD

及

S△CAD

S△ABC

，就可解决问题．

解答：解：（1）过点C作CG∥PE，交AD的延长线于G，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵BD=2DC，CE=2EA，AF=2FB，
∴BF=AE=CD．
在△ADC和△CFB中，

AC=CB ∠ACD=∠CBF CD=BF

，
∴△ADC≌△CFB，
∴∠DAC=∠FCB，
∴∠DRC=∠DAC+∠ACR=∠FCB+∠ACR=60°．
同理：∠APE=60°．
∵CG∥PE，∴∠G=∠APE=60°，
∴△GRC是等边三角形，
∴GR=GC=RC．
在△AEP和△CDR中，

∠PAE=∠RCD ∠APE=∠CRD AE=CD

，
∴△AEP≌△CDR，
∴AP=CR，PE=RD．
设AP=x，则CR=RG=GC=x．
∵CG∥PE，
∴△APE∽△AGC，
∴

AP

AG

=

PE

GC

=

AE

AC

=

1

3

．
∴AG=3AP=3x，GC=3PE=x即PE=

x

3

，
∴PR=AG-AP-RG=3x-x-x=x，RD=PE=

x

3

，
∴AP：PR：RD=x：x：

x

3

=3：3：1．
故答案为：3：3：1．

（2）连接PC，如图2．
∵∠QPR=∠APE=60°，∠QRP=∠DRC=60°，
∴△QPR是等边三角形，
∴QR=PR，
∴QR=RC，
∴S_△PQR=S_△PCR．
∵

S△PCR

S△CAD

=

PR

AD

=

x

x+x+ x 3

=

3

7

（高相等），

S△CAD

S△ABC

=

CD

BC

=

1

3

，
∴

S△PCR

S△ABC

=

S△PCR

S△CAD

•

S△CAD

S△ABC

=

3

7

×

1

3

=

1

7

．
∵S_△ABC=1，
∴S_△PCR=

1

7

，
∴S_△PQR=

1

7

．
故答案为：

1

7

．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、面积及等积变换等知识，通过作平行线构造相似三角形是解决第（1）小题的关键，运用高相等时三角形的面积比等于底的比是解决第（2）小题的关键．