Question

2．如图，在△ABC，AB=AC=2，△ABC=30°，点P、Q分别在边AB、AC上，将△APQ沿PQ翻折，点A落到点A′处，则线段BA′长度的最小值是2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 首先求得BC的长度，然后由两点之间线段最短可知：当点B、Q、C、A′在同一条直线上时，BA′的长度最小，然后根据BA′=BC-A′C求解即可．

解答 解：如图所示过点A作AD⊥BC于点D．

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$×120°=60°，BD=DC．
∴sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}$，即$\frac{BD}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴BD=$\sqrt{3}$．
∴BC=2$\sqrt{3}$．
由翻折的性质可知：A′Q=AQ
∵AQ+NQ=AC=2，
∴A′Q+QC=2．
要求BA′的最小值，只需BA′+A′Q+QC有最小值，由两点之间线段最短可知：当点B、Q、C、A′在同一条直线上时，BA′的长度最小．
如图所示：

由翻折的性质可知：A′C=AC．
∴BA′=BC-A′C=2$\sqrt{3}$-2．
故答案是：2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、特殊度数的锐角三角函数值、线段的性质的应用，明确当点B、Q、C、A′在同一条直线上时，BA′的长度最小是解题的关键．