题目内容

1．如图1中，∠ABC=90°，点B在直线L上，过A、C两点作直线L的垂线段，垂足分别为点D、点E，容易证得△ADB∽△BEC．此图形如横放的大写英文字母“K”，故常称之为“K形图”，又因为图中的三个直角顶点在同一直线上，又称之为“一线三垂直”，是学习相似三角形的基本图形之一．请以“K形图”为模型，解答下面问题：

（1）当图1中∠ABC=∠ADB=∠BEC=90°，改为图2中的∠ABC=∠ADB=BEC=α，请问△ADB∽△BEC的结论还成立吗？若成立请证明这个结论，若不成立请说明理由；
（2）如图3，等边△ABC中，AB=6，将一直角三角板DEF的60°角的顶点E置于边BC上移动（不与B、C重合），移动过程中，始终满足直角边DE经过点A，斜边EF交AC于点G．
①求线段AG长度的最小值；
②探究：在点E移动过程中，两三角形重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出此时BE的长，若不能，请说明理由．

分析 （1）先根据三角形的外角得出∠A=∠CBE，进而得出△ADB∽△BEC；
（2）①先表示出BE=x，CE=6-x，由（1）的结论求出CG=-$\frac{1}{6}$（x-3）2+$\frac{3}{2}$，即可得出CG的最大值，AG的最小值；
②用反证法证明即可

解答 解：（1）结论仍然成立，
理由：根据三角形外角的性质得，∠ABE=∠ABC+∠CBE=∠A+∠ADB，
∵∠ABC=∠ADB=∠BEC=α，
∴∠A=∠CBE，
∵∠ADB=∠BEC，
∴△ADB∽△BEC；
（2）①设BE=x，
∴CE=6-x，
∵∠B=∠AEG=∠C=60°，
由（1）知，△ADB∽△BEC；
∴$\frac{CG}{BE}=\frac{CE}{AB}$，
∴$\frac{CG}{x}=\frac{6-x}{6}$，
∴CG=-$\frac{1}{6}$x2+x=-$\frac{1}{6}$（x-3）2+$\frac{3}{2}$，
当x=3时，CG最长为$\frac{3}{2}$；AG最短为6-$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
②在点E移动过程中，两三角形重叠部分不能成等腰三角形；
理由：∵∠AEG=60°，如果重叠部分为等腰三角形，则必是等边三角形，
即：AE=EG，
∵△ABE∽△ECG，
那么这两个三角形全等，
则AB=EC，而点E置于边BC上移动不与B，C重合，
∴AB=BC＞EC，所以得出矛盾，
即点E移动过程中，两三角形重叠部分不能成等腰三角形．

点评 此题是相似三角形综合题，主要考查了三角形的外角，相似三角形的性质和判定，反证法，判断出△ADB∽△BEC是解本题的关键，用反证法证明是解本题的难点．

练习册系列答案
相关题目
20．指出下列各命题的条件和结论，并通过反例说明其中的假命题．
（1）在同一年内，如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一；
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；
（3）如果$\frac{x-5}{2}$=$\frac{3-x}{3}$，那么x=4；
（4）两个锐角之和一定是钝角；
（5）如果x2＞0，那么x＞0；
（6）两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等．

已知关于， 的方程组

（1）请写出方程的所有正整数解；

（2）若方程组的解满足，求的值；

（3）无论实数取何值，方程总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？

（4）如果方程组有整数解，求整数的值。
11．观察思考
某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米．

解决问题
（1）点Q与点O间的最小距离是4分米；点Q与点O间的最大距离是5分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是6分米．
（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是3分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
17．如图1，过边长为3的正方形ABCD的点A作直线交CD和CB延长线于点E、F，设DE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若△EFC的面积为$\frac{75}{4}$，求FC的长；
（3）如图2，$\frac{EG}{AG}$=2，若CG⊥EF，求BF的长．
5．如图，平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（-3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请在坐标系中作出旋转中心S并写出旋转中心S的坐标：S（$\frac{3}{2}$，-1）
（4）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请作图标出P点并写出点P的坐标．P（-2，0）．
12．抛物线与x轴交于A，B两点，（点B在点A的左侧）且A，B两点的坐标分别为（-2，0）、（8，0），与y轴交于点C（0，-4），连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线L交抛物线于点Q，交BD于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？
（3）位于第四象限内的抛物线上是否存在点N，使得△BCN的面积最大？若存在，求出N点的坐标，及△BCN面积的最大值；若不存在，请说明理由．
9．阅读资料：
如图1，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理得AB2=|x2-x1|2+|y2-y1|2，所以A，B两点间的距离为AB=$\sqrt{{{（{x_2}-{x_1}）}^2}+{{（{y_2}-{y_1}）}^2}}$．
我们知道，圆可以看成到圆心的距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系xOy中，A （x，y）为圆上任意一点，则点A到原点的距离的平方为OA2=|x-0|2+|y-0|2，当⊙O的半径OA为r时，⊙O的方程可写为：x2+y2=r2．
问题拓展：
如果圆心坐标为P （a，b），半径为r，那么⊙P的方程可以写为（x-a）2+（y-b）2=r2．
综合应用：
如图3，⊙P与x轴相切于原点O，P点坐标为（0，6），A是⊙P上一点，连接OA，使∠POA=30°，作PD⊥OA，垂足为D，延长PD交x轴于点B，连接AB．
①证明AB是⊙P的切线；
②是否存在到四点O，P，A，B距离都相等的点Q？若存在，求Q点坐标，并写出以点Q为圆心，OQ长为半径的⊙Q的方程；若不存在，说明理由．
10．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图l），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段（不需要添加辅助线），并说明理由．

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