Question

如图，在平行四边形中，点O为对角线BD的中点，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC．
（1）求证：EF、BD互相平分；
（2）若∠A=60°，AE=2EB，AD=4，求四边形DEBF的周长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据平行四边形的对角相等以及角平分线的定义，证明∠ABF=∠AED，则DE∥BF，即可得到四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分即可证得；
（2）证明△ADE是等边三角形，求得AE、DE的长，则BE即可求得，进而求得DEBF的周长．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC．
又∵DE，BF分别是∠ADC，∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠CDE．
又∵∠CDE=∠AED，
∴∠ABF=∠AED，
∴DE∥BF，
∵DF∥BE
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴EF，BD互相平分．

（2）由（1）知∠ADE=∠AED，
∵∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形．
∴AE=DE=AD=6，
又∵AE：EB=2：1，
∴EB=3．
∴四边形DEBF的周长是18．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，证明两线段互相平分，常用的方法是证明以两条线段的四个端点为顶点的四边形是平行四边形．