Question

9．如图，AB为⊙O的直径，C为上半圆上一点，D为下半圆弧的中点，G为CD上一点，满足DA=DG
（1）求证：G为△ABC的内心；
（2）延长AG交⊙O于E点，作EF⊥AC于F．若sin∠ABC=$\frac{4}{5}$，求tan∠FAE的值．

Answer 1

分析 （1）根据弧、弦、圆心角的关系得到∠DAB=∠DBA=∠ACD=∠BCD=45°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角的性质得到∠BAG=∠CAG，证明结论；
（2）根据角平分线的性质得到$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BG}{CG}$=$\frac{5}{4}$，根据正弦的概念、正切的概念计算即可．

解答 证明：（1）∵D为下半圆弧的中点，
∴∠DAB=∠DBA=∠ACD=∠BCD=45°，
∵DA=DG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴45°+∠BAG=45°+∠CAG，
∴∠BAG=∠CAG，
∴AG、CG分别为∠CAB、∠ACB的平分线，
∴G为△ABC的内心；

（2）∵AE平分∠CAB，sin∠ABC=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BG}{CG}$=$\frac{5}{4}$，
设AB=5x，AC=4x，则BC=3x，GB=$\frac{5}{3}$x，CG=$\frac{4}{3}$x，
∴tan∠FAE=$\frac{CG}{AC}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查的是三角形的内切圆和内心、掌握三角形的内心的概念、角平分线的性质、正切的概念是解题的关键．