Question

4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G，请判断四边形GECF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 根据全等三角形的判定定理HL进行证明Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），得到GE=EC；根据平行线EG∥CD的性质、∠BAC平分线的性质以及等量代换推知∠FEC=∠CFE，易证CF=CE；从而根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判断．

解答 四边形GECF是菱形，
证明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥EC．
又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分线，
∴GE=CE．
在Rt△AEG与Rt△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{GE=CE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；
∴GE=EC，
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB．
又∵EG⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠CFE=∠GEA．
∵Rt△AEG≌Rt△AEC，
∴∠GEA=∠CEA，
∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴GE=EC=FC．
又∵EG∥CD，即GE∥FC，
∴四边形GECF是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质，关键是掌握菱形的判定：
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．