Question

如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6．动点P从点A出发，沿线段AB（不包括端点A，B）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点B运动；动点Q从点B出发，沿线段BC（不包括端点B，C）以每秒1个单位长度的速度，匀速向点C运动．连接DQ并延长交AB的延长线于点E，把DE沿DC翻折交BC延长线于点F，连接EF．点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒．
（1）当DP⊥DF时，求t的值；
（2）当PQ∥DF时，求t的值；
（3）在运动的过程中，△DEF的面积是否变化？如果改变，求出变化的范围；如果不变，求出它的值．

Answer 1

考点：矩形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：动点型

分析：（1）首先证明△ADP∽△CDF根据相似三角形的性质可得

AD

CD

=

AP

CF

，进而得到

6

8

=

2t

6-t

，解出t即可；
（2）首先证明△PBQ∽△DCF可得

PB

DC

=

BQ

CF

，表示出PB=8-2t，CD=8，BQ=t，CF=CQ=6-t，代入比例式可解出t的值，再根据t的取值范围可确定t的值；
（3）由△EBQ∽△EAD，得

BE

AE

=

BQ

AD

，进而得到BE=

8t

6-t

，再根据三角形的面积公式进行计算即可．

解答：解：（1）∵ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°．
∵DP⊥DF，
∴∠ADP=∠CDF．
∴△ADP∽△CDF．
∴

AD

CD

=

AP

CF

．
∵AD=6，AP=2t，CD=8，CF=CQ=6-t，
∴

6

8

=

2t

6-t

．
解得t=

18

11

．      
   
（2）∵PQ∥DF，
∴△PBQ∽△DCF．
∴

PB

DC

=

BQ

CF

．
∵PB=8-2t，CD=8，BQ=t，CF=CQ=6-t，
∴

8-2t

8

=

t

6-t

．
解得t=2或12．
∵0＜t＜4，
∴t=2．  

（3）不变．
∵△EBQ∽△EAD，
∴

BE

AE

=

BQ

AD

，即

BE

BE+8

=

t

6

．
解得BE=

8t

6-t

．  
∴△DEF的面积=

1

2

×QF×（DC+BE）=

1

2

×2（6-t）×（8+

8t

6-t

）=48．
∴△DEF的面积为48．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形相似的方法．