Question

（本题满分14分）如图1，四边形ABCD是边长为的正方形，长方形AEFG的宽,长．将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH （如图2），这时BD与MN相交于点O．

（1）求的度数；

（2）在图2中，求D、N两点间的距离；

（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ的

内部、外部、还是边上？并说明理由.

 

Answer 1

（1）∠DOM=120°（2）DN=5（3）点B在矩形ARTZ的外部

【解析】

试题分析：（1）由旋转的性质，可得∠BAM=15°，即可得∠OKB=∠AOM=75°，又由正方形的性质，可得

∠ABD=45°，然后利用外角的性质，即可求得∠DOM的度数；

（2）首先连接AM，交BD于I，连接AN，由特殊角的三角函数值，求得∠HAN=30°，又由旋转的性质，即可求得∠DAN=45°，即可证得A，C，N共线，然后由勾股定理求得答案；

（3）在Rt△ARK中，利用三角函数即可求得AK的值，与AB比较大小，即可确定B的位置．

试题解析：（1）如图，设AB与MN相交于点K，根据题意得：∠BAM=15°，

∵四边形AMNH是矩形，∴∠M=90°.

∴∠AKM=90°－∠BAM=75°.

∴∠BKO=∠AKM=75°.

∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=45°.

∴∠DOM=∠BKO+?ABD=75°+45°=120°.

（2）连接AN，交BD于I，连接DN，

∵NH=，AH=，∠H=90°，

∴。∴∠HAN=30°.

∴AN=2NH=7.

由旋转的性质：∠DAH=15°，∴∠DAN=45°.

∵∠DAC=45°，∴A，C，N共线.

∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.

∵AD=CD=，∴.

∴NI=AN－AI=7－3=4.

在Rt△DIN中，.

（3）点B在矩形ARTZ的外部.理由如下：

如图，根据题意得：∠BAR=15°+15°=30°.

∵∠R=90°，AR= ，

∴。

∵，

∴AB= ＞.

∴点B在矩形ARTZ的外部.

考点：旋转的性质，正方形的性质, 外角的性质, 特殊角的三角函数值,勾股定理