Question

如图所示，已知AB∥GH∥IJ∥CD，AD∥EF∥BC，过点M，N分别作两条直线，设它们相交于于点P，如果点P在平行四边形ABCD内，且点P不在图中任何线段上，试判断∠P，∠PMH，∠PNJ三个角之间的关系，并证明．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：P的位置不确定，因而分P在四边形GMNI内、在四边形BEMG内、在四边形AEMH内、在四边形MHJN内、在四边形NJDF内、在四边形INFC内几种情况进行讨论，利用平行线的性质定理求解．

解答： 解：当点P在四边形GMNI内（如图1），∠P+∠PMH+∠PNJ=360°
理由是：作PQ∥GH，且GH∥IJ，
∴PQ∥IJ∥GH
∴∠HMP+∠MPQ=180，∠PNJ+∠NPQ=180°，
∴∠MPN+∠PMH+∠PNJ=360°；

当点P在四边形BEMG内时（如图2），作PQ∥GH，且GH∥IJ，
∴PQ∥IJ∥GH，
∴∠EMH=∠ENJ，
又∵∠PME=∠MPN+∠PNE，
∴∠MPN+∠PNJ=∠PMH．
同理可证，当点P在四边形INFC内，∴∠MPN+∠PMH=∠PNJ；

当点P在四边形AEMH内（如图3），∵GH∥IJ，
∴∠PLH=∠PNJ，
又∵∠PLH=∠MPH+∠PML，
∴∠MPN+∠PMH=∠PNJ．
同理可证，当点P在四边形NJDF内，∠MPN+∠PNJ=∠PMH；

当点P在四边形MHJN内（如图4），作PQ∥GH，且GH∥IJ，
∴PQ∥IJ∥GH
∴∠PNJ=∠QPN，∠PMH=∠QPM，
∴∠MPN=∠PNJ+∠PMH．

点评：此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用．