Question

15．如图，已知A（4，0），过A作x轴的垂线AT，以OA为直径作半圆，圆心为C，M是y轴正半轴上一动点（与O点不重合），过M作半圆的切线MN交直线AT于N，切点为P，连结CN、CM．
（1）证明：∠MCN=90°；
（2）设OM=m，若抛物线经过点M、N且顶点为C，求此时抛物线的解析式，并求出此时m的值；
（3）若OM=1，求过A点且平分梯形OMNA面积的直线解析式．

Answer 1

分析 （1）先判断出Rt△ACN≌Rt△PCN，得出∠PCN=∠ACN=$\frac{1}{2}$∠ACP，同理：∠OCM=∠PCM=$\frac{1}{2}$∠OCP，从而得出结论；
（2）先确定出C（2，0），M（0，m），再判断出△OCM∽△ANC，确定出AN=$\frac{4}{m}$，N（4，$\frac{4}{m}$），用待定系数法即可；
（3）先求出直线MN解析式为y=$\frac{3}{4}$x+1，再求出梯形OANM的面积，设出点E坐标，用面积公式即可．

解答 解：（1）连接OP，
∵A作x轴的垂线AT，以OA为直径作半圆，
∴∠CAN=90°，
∵MN是⊙C的切线，
∴∠OPC=90°，
在Rt△ACN和△RtPCN中，$\left\{\begin{array}{l}{CP=CA}\\{CN=CN}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACN≌Rt△PCN，
∴∠PCN=∠ACN=$\frac{1}{2}$∠ACP，
同理：∠OCM=∠PCM=$\frac{1}{2}$∠OCP，
∵∠ACP+∠OCP=180°，
∴∠MCP∠+∠NCP=90°，
∴∠MCN=90°，
（2）∵点A（4，0），且AB为直径圆C，
∴C（2，0），
∵OM=m，且点M在y轴正半轴上，
∴M（0，m），
由（1）得，∠OCM+∠ACN=90°
∵∠ACN+∠ANC=90°，
∴∠OCM=∠ANC，
∵∠COM=∠CAN=90°，
∴△OCM∽△ANC，
∴$\frac{OC}{AN}=\frac{OM}{AC}$，
∴$\frac{2}{AN}=\frac{m}{2}$，
∴AN=$\frac{4}{m}$，
∴N（4，$\frac{4}{m}$），
设抛物线解析式为y=a（x-2）²，
∵点M，N在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{m}=a（4-2）^{2}}\\{m=a（0-2）^{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{a=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{a=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$（舍），
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-2）²，m=2，
（3）∵OM=1
由（2）有，AN=4，
∴S_梯形OANM=$\frac{1}{2}$（OM+AN）×OA=$\frac{1}{2}$（1+4）×4=10，
∵M（0，1），N（4，4），
∴直线MN解析式为y=$\frac{3}{4}$x+1，
∵过A点且平分梯形OMNA面积的直线与MN相交于E，过点E作EF⊥OA，
设E（n，$\frac{3}{4}$n+1），
∴EF=$\frac{3}{4}$n+1，AF=4-n
S_{四边形OAEN}
=S_梯形OFEM+S_△AEF=$\frac{1}{2}$（OM+EF）×OF+$\frac{1}{2}$AF×EF
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{3}{4}$n+1）×n+$\frac{1}{2}$×（4-n）×（$\frac{3}{4}$n+1）
=$\frac{1}{2}$S_梯形OANM
=5，
∴n=$\frac{3}{2}$，
∴N（$\frac{3}{2}$，$\frac{17}{8}$），
设直线AE的解析式为y=kx+b，且A（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{\frac{3}{2}k+b=\frac{17}{8}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{17}{20}}\\{b=\frac{17}{5}}\end{array}\right.$
∴过A点且平分梯形OMNA面积的直线解析式y=-$\frac{17}{20}$k+$\frac{17}{5}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，待定系数法，解本题的关键是用分割法求出四边形OAEM的面积．