Question

2．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A （0，-1），点B （4，-1），四边形ABCD是正方形，点C在第一象限．
（1）直线AC的解析式为y=x-1；
（2）过点D且与直线AC平行的直线的解析式为y=x+3；
（3）与直线AC平行且到直线AC的距离为3$\sqrt{2}$的直线的解析式为y=x+5或y=x-7；
（4）已知点T是AB的中点，P，Q是直线AC上的两点，PQ=6$\sqrt{2}$，点M在直线AC下方，且点M在直线DT上，当∠PMQ=90°，且PM=QM时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出正方形ABCD的边长以及点C的坐标是多少；然后应用待定系数法，求出直线AC的解析式是多少即可．
（2）首先根据四边形ABCD是正方形，求出点D的坐标是多少；然后应用待定系数法，求出过点D且与直线AC平行的直线的解析式是多少即可．
（3）首先设与直线AC平行且到直线AC的距离为3$\sqrt{2}$的直线的解析式为y=x+d，然后根据点A（0，-1）到直线y=x+d的距离为3$\sqrt{2}$，求出d的值是多少即可．
（4）首先作MG⊥PQ于点G，求出点E的坐标，再应用待定系数法，求出直线l的解析式；然后求出点T的坐标，再应用待定系数法，求出直线DT的解析式；最后求出直线l和直线DT的交点即可．

解答 解：（1）∵点A （0，-1），点B （4，-1），
∴AB=4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=4，
∴点C的坐标是（4，3），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{b=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$
∴直线AC的解析式为y=x-1．

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4，
∴点D的坐标是（0，3），
设过点D且与直线AC平行的直线的解析式为y=x+c，
则3=0+c，
解得c=3，
∴过点D且与直线AC平行的直线的解析式为：y=x+3．

（3）设与直线AC平行且到直线AC的距离为3$\sqrt{2}$的直线的解析式为y=x+d，
∵点A（0，-1）到直线y=x+d的距离为3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|0×1-（-1）+d|}{\sqrt{{1}^{2}{+（-1）}^{2}}}=3\sqrt{2}$，
解得d=5或-7，
∴与直线AC平行且到直线AC的距离为3$\sqrt{2}$的直线的解析式为：y=x+5或y=x-7．

（4）如图1，作MG⊥PQ于点G，

∵PM=QM，
∴MG是PQ边上的中线，
又∵∠PMQ=90°，
∴MG=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{1}{2}×6\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
∴点M在与直线AC平行，且相距3$\sqrt{2}$的直线l上，
设l与y轴交于点E，作AF⊥l于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，∠DAC=90°，
∵直线AC∥l，
∴∠AEF=∠DAC=45°，
又∵AF⊥l，
∴∠AFE=90°，
∴∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠AEF=∠EAF=45°，
∴EF=AF=MG=3$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}EF$=$\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=6，
∵点M在直线AC下方，
∴OE=7，
∴点E的坐标是（0，-7），
∴直线l的解析式是y=x-7，
∵点A （0，-1），点B （4，-1），点T是AB的中点，
∴点T的坐标是（2，-1），
设直线DT的解析式是y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=-1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=3}\end{array}\right.$．
∴直线DT的解析式是y=-2x+3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-7}\\{y=-2x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10}{3}}\\{y=-\frac{11}{3}}\end{array}\right.$．
∴点M的坐标是（$\frac{10}{3}$，-$\frac{11}{3}$）．
故答案为：y=x-1；y=x+3；y=x+5或y=x-7．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了直线解析式的求法，以及正方形的性质和应用，要熟练掌握．