Question

15．在课本《图象的轴对称》一节中，例2（如图1）呈现并解决了这样的问题“骑马少年从A地出发，去河边l
让马饮水，然后返回位于B地的家中，他沿怎样的路线行走使路程最短？”请根据所学知识解决下列问题：
（1）如图2，等边△ABC中，AB=2，AE⊥BC于点E，D为AB 中点，请在AE上找到点O，使得BO+OD的长度最短，在图中标出点O，并求出这个最短长度的值；
（2）如图3，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点B坐标为（4，4），OC、OA分别在x、y轴上，连接AC，D为OC边上一点且OD=1，请在AC上找到一点P，使得DP+OP的长度最短，在图中标出点P，并求出点P到OA边的距离．

Answer 1

分析 （1）先找出点O的位置，进而判断出点F是AC的中点，最后用勾股定理即可得出结论；
（2）同（1）的方法求出OP+PD的最小值，再用待定系数法求出直线AC，BD的解析式，进而求出直线AC，BD的交点坐标即可得出结论．

解答 解：（1）如图2，
作出点D关于AE的对称点F，连接BF交AE于O，此时BO+DO最小，最小值为BF，
∵在等边△ABC中，AB=2，点D是AB的中点，AE是高，
∴点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，CF=$\frac{1}{2}$AC=1，
在Rt△BFC中，根据勾股定理得，BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即：BO+DO的最小值为$\sqrt{3}$；

（2）如图3，
∵AC是正方形OABC的对角线，连接BD，
即：OP+PD的最小值就是BD，
∵正方形OABC的顶点B坐标为（4，4），
∴OC=BC=OA=4，
∵D（1，0），
∴OD=1，
∴CD=OC-OD=3，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
即：DP+OP的最小值为5；
∵D（1，0），B（4，4），
∴直线BD的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{4}{3}$①，
∵B（4，4），
∴C（4，0），A（0，4），
∴直线AC的解析式为y=-x+4②，
联立①②解得，x=$\frac{20}{7}$，y=$\frac{8}{7}$，
∴P（$\frac{20}{7}$，$\frac{8}{7}$），
∴点P到OA边的距离为$\frac{20}{7}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了待定系数法，等边三角形得性质，正方形得性质，勾股定理，最短距离得确定，解本题的关键是确定出最小值对应得线段．