Question

19．在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（2，0），若在坐标轴上存在点C，使得AC+BC=m，则称点C为点A，B的“m和点”．例如C坐标为（0，0）时，AC+BC=4，则称C（0，0）为点A，B的“4和点”．
请根据上述规定回答下列问题
（1）若点C为点A，B的“m和点”，且△ABC为等边三角形（三边相等的三角形），求m的值；
（2）点E是点A，B的“5和点”，且点E在x轴上，则点E的坐标为（-2.5，0），或E（2.5，0）
（3）若点C为点A，B的“m和点”，且点C和C′在y轴上，如果ACBC′组成正方形，求出正方形的边长．

Answer 1

分析 （1）利用“m和点”的定义和等边三角形的性质得出AC，BC的长，计算即可；
（2）利用“m和点”的定义，根据已知分类讨论可得结果；
（3）根据正方形的性质得出CO=C′O=BO=AO=2，利用勾股定理可得正方形的边长．

解答 解：（1）∵点A（-2，0），B（2，0），
∴AB=4，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=AB=4，
∴m=AC+BC=8；

（2）设E点坐标为（x，0），
∵点E是点A，B的“5和点”，
∴若点E在A的左侧，则有（-2-x）+（2-x）=5，
解得：x=-2.5；
若点E在B的右侧，则有[x-（-2）]+（x-2）=5，
解得：x=2.5；
∴E（-2.5，0），或E（2.5，0），
故答案为：（-2.5，0），或E（2.5，0）；

（3）∵若点C为点A，B的“m和点”，且点C和C′在y轴上，ACBC′组成正方形，
∴AB，CC′是正方形的对角线，
∴CO=C′O=BO=AO=2，
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴正方形的边长为2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质和正方形的性质，运用新定义，分类讨论是解答此题的关键．