Question

17．如图，等腰直角三角形△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC；BE是角平分线，AD⊥BE交BC于D．求证：AE=CD．

Answer 1

分析 先根据等角对等边，得出AB=DB，再根据SAS判定△ABE≌△DBE，得出∠BAE=∠BDE=90°，AE=DE，最后判定△CDE是等腰直角三角形，即可得出DE=CD，进而得到AE=CD．

解答 证明：连接DE，
∵BE是角平分线，AD⊥BE，
∴∠BAD=∠BDA，∠ABE=∠DBE，
∴AB=DB，
在△ABE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABE=∠DBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBE（SAS），
∴∠BAE=∠BDE=90°，AE=DE，
又∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=CD，
∴AE=CD．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．