Question

19．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于一、三象限内的A．B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，-2），BD⊥x轴，垂足为点D，且BD：OD=2：5，
（l）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据BD：OD=2：5求出点B的坐标，再代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中，求出反比例函数的解析式，从而求出点A的坐标，再把点A、点B的坐标代入y=ax+b，求出一次函数的解析式；
（2）因为一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴交于C点，所以求得C（-3，0），再因为S_△BCE=S_△BCO，所以CE=OC=3，即可得出OE=6，则E（-6，0）．

解答 解：（1）∵点B的坐标为（n，-2），BD⊥x轴，垂足为点D，且BD：OD=2：5，
∴2：（-n）=2：5，
∴n=-5，
∴点B的坐标是（-5，-2），
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{10}{x}$；
∴点A的坐标是（2，5），
把（2，5）、（-5，-2）代入y=ax+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=5}\\{-5a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=x+3；

（2）∵一次函数y=x+3的图象与x轴交于C点，
∴当y=0时，x=-3，
∴C（-3，0），即OC=3．
∵S_△BCE=S_△BCO，
∴CE=OC=3，
∴OE=6，即E（-6，0）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，体现了数形结合的思想．