题目内容
26、在图1-3中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b，且边AD和AE在同一直线上．
（1）操作发现：
①当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG=b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB，小明发现：如果先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，那么△CGB恰可以拼接到△CHD的位置．请说明理由；
②对于拼接成的新四边形FGCH，小明通过度量发现其恰是正方形．请说明理由．
（2）实践探究：
小明进一步探究后发现：当2b＜a、2b=a、a＜2b＜2a、b=a时（即b≤a时），此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．请你类比图1的剪拼方法，在图2（a＜2b＜2a）中画出剪拼成一个新正方形的示意图．
（3）联想拓展：
当b＞a时，如图3的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．
（1）操作发现：
①当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG=b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB，小明发现：如果先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，那么△CGB恰可以拼接到△CHD的位置．请说明理由；
②对于拼接成的新四边形FGCH，小明通过度量发现其恰是正方形．请说明理由．
（2）实践探究：
小明进一步探究后发现：当2b＜a、2b=a、a＜2b＜2a、b=a时（即b≤a时），此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．请你类比图1的剪拼方法，在图2（a＜2b＜2a）中画出剪拼成一个新正方形的示意图．
（3）联想拓展：
当b＞a时，如图3的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．
分析：（1）①两个三角形中都有一个直角，都使用了正方形的边长，由旋转可得EH=AG=a-b，根据题中所给的条件可得DH=BG，那么所求的两个三角形全等，△CGB恰可以拼接到△CHD的位置；
②由前面的全等可得到CG=CH，FH=FG，那么应证明FH和CH所在的三角形全等，得到所求的四边形的菱形，进而根据全等中的对应角相等和原来正方形的直角得到新四边形的一个角是直角得证．
（2）（3）应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半．
②由前面的全等可得到CG=CH，FH=FG，那么应证明FH和CH所在的三角形全等，得到所求的四边形的菱形，进而根据全等中的对应角相等和原来正方形的直角得到新四边形的一个角是直角得证．
（2）（3）应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半．
解答：解：①∵△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，
∴AG=EH=a-b
又∵ED=a-2b
∴DH=EH-ED=b=BG（1分）
∵BC=DC∠B=∠CDH=90°
∴△CBG≌△CDH
∴△CGB可以拼接到△CHD的位置（3分）
②作FM⊥AD于点M
∵△FAE为等腰直角三角形
∴FM=AM=EM=DH=b
∴MH=AD-AM+DH=a=DC（5分）
又∵∠FMH=∠CDH=90°
∴△FMH≌△DHC（6分）
∴FH=CH
∴FH=CH=CG=FG（7分）
∴四边形FGCH是菱形
又∵∠GFH=90°
∴四边形FGCH是正方形．（8分）
（2）、（3）剪拼方法如图2、3（每图（3分）．注：图3用其它剪拼方法能拼接成面积为a2+b2的正方形均给分．
（14分）
∴AG=EH=a-b
又∵ED=a-2b
∴DH=EH-ED=b=BG（1分）
∵BC=DC∠B=∠CDH=90°
∴△CBG≌△CDH
∴△CGB可以拼接到△CHD的位置（3分）
②作FM⊥AD于点M
∵△FAE为等腰直角三角形
∴FM=AM=EM=DH=b
∴MH=AD-AM+DH=a=DC（5分）
又∵∠FMH=∠CDH=90°
∴△FMH≌△DHC（6分）
∴FH=CH
∴FH=CH=CG=FG（7分）
∴四边形FGCH是菱形
又∵∠GFH=90°
∴四边形FGCH是正方形．（8分）
（2）、（3）剪拼方法如图2、3（每图（3分）．注：图3用其它剪拼方法能拼接成面积为a2+b2的正方形均给分．
（14分）点评：本题考查学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值，旋转的三角形，连接的点都应是相同的．
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