Question

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，$\widehat{AB}$=$\widehat{BD}$，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1=∠BCE；
（2）求证：BE是⊙O的切线；
（3）若EC=1，CD=3，求cos∠DBA．

Answer 1

分析 （1）过点B作BF⊥AC于点F，然后证明△ABF≌△DBE（AAS），即可得出∠1=∠BCE；
（2）先证明∠BAC=∠EBC，由于OA=OB，所以∠BAC=∠OBA，从而可知∠EBC=∠OBA，所以∠EBC+∠CBO=∠OBA+∠CBO=90°，从而可知BE是⊙O的切线；
（3）易证△EBC≌△FBC（AAS），从而可求出CF=CE=1，然后求出AC以及AF的长度后，即可求出cos∠DBA的值．

解答 解：（1）过点B作BF⊥AC于点F，
在△ABF与△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠BDE}\\{∠AFB=∠DEB}\\{AB=DB}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△DBE（AAS）
∴BF=BE，
∴∠1=∠BCE

（2）连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，即∠1+∠BAC=90°，
∵∠BCE+∠EBC=90°，且∠1=∠BCE，
∴∠BAC=∠EBC，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∴∠EBC=∠OBA，
∴∠EBC+∠CBO=∠OBA+∠CBO=90°，
∴BE是⊙O的切线；

（3）由（2）可知：∠EBC=∠CBF=∠BAC，
在△EBC与△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠CBF}\\{∠BEC=∠CFB}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△FBC（AAS），
∴CF=CE=1，
由（1）可知：AF=DE=1+3=4，
∴AC=CF+AF=1+4=5，
∴cos∠DBA=cos∠DCA=$\frac{CD}{CA}$=$\frac{3}{5}$

点评 本题考查圆的综合问题，涉及解直角三角形，全等三角形的性质与判定，切线的判定与性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．