Question

18．问题提出
平面上，若点P与△ABC的三个顶点A、B、C中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．
初步思考
（1）如图①，在等边△ABC的内部和外部各作一个△ABC的巧妙点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图②，在△ABC中，AB=AC，点D、E是△ABC的两个巧妙点，其中AD=AB，AE=AC，BD=BC=CE，连接DE，交AB、AC于点M、N．求证：∠AMD=∠ANE．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知，巧妙点必在某条边的垂直平分线上，所以只需要作出两边的垂直平分线即可找出巧妙点．
（2）根据条件可证明AD=AE，所以∠AMD=∠ANE，再证明△ADB≌△AEC可得∠DAB=∠EAC．

解答 解：（1）如图所示，

点P为所求作．
（2）∵AB=AC
∴AD=AB，AE=AC，
∴AD=AB=AC=AE，
∴∠ADE=∠AED，
在△ADB与△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{AB=AC}\\{BD=CE}\end{array}\right.$
∴△ADB≌△AEC，
∴∠DAB=∠EAC，
∵∠AMD=180°-∠ADE-∠DAB
∠ANE=180°-∠AED-∠EAC，
∴∠AMD=∠ANE．

点评 本题考查三角形的综合问题，涉及等腰三角形性质与判定，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质．