Question

10．如图△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AC=5，BC=3，DG=1，则BN的长度为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{8}{5}$
• D． $\frac{12}{7}$

Answer 1

分析 在Rt△ABC中，先利用勾股定理计算出AB=4，再利用正方形的性质得DE=EF=GF=DG=1，∠DEG=∠GFE=90°，接着证明△ADE∽△ACB，则利用相似比可计算出AE=$\frac{4}{3}$，所以AF=$\frac{7}{3}$，然后证明△AGF∽△ANB，于是利用相似比可计算出BN．

解答 解：在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵四边形DEFG为正方形，
∴DE=EF=GF=DG=1，∠DEG=∠GFE=90°，
而∠B=90°，
∴∠AED=∠B，
∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{BC}$，即$\frac{1}{3}$=$\frac{AE}{4}$，
∴AE=$\frac{4}{3}$，
∴AF=AE+EF=$\frac{7}{3}$，
∵∠GFA=∠B，∠GAF=∠NAB，
∴△AGF∽△ANB，
∴$\frac{GF}{BN}$=$\frac{AF}{AB}$，积$\frac{1}{BN}$=$\frac{\frac{7}{3}}{4}$，
∴BN=$\frac{12}{7}$．
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定于性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了正方形的性质．