题目内容
如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=-x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）。
（1）当x取何值时，该抛物线有最大值，这个最大值是多少？
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示），
①当
时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由。
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示），
①当
时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由。
解：（1）因抛物线
经过坐标原点O（0，0）和点E（4，0）故可得c=0，b=4，
所以抛物线的解析式为
，由
，
得当x=2时，该抛物线的最大值是4；
（2）①点P不在直线ME上，
已知M点的坐标为（2，4），E点的坐标为（4，0），
设直线ME的关系式为y=kx+b，
于是得
，解得
，
所以直线ME的关系式为y=-2x+8，
由已知条件易得，当
时，OA=AP=
，P
，
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8，
∴当
时，点P不在直线ME上；
②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5，
∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴OA=AP=t，
∴点P，N的坐标分别为（t，t）、（t，-t2+4t），
∴AN=-t2+4t（0≤t≤3），
∴AN-AP=（-t2+4t）-t=-t2+3t=t（3-t）≥0，
∴PN=-t2+3t，
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，
∴S=
DC·AD=×3×2=3；
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形，
∵PN∥CD，AD⊥CD，
∴S=（CD+PN）·AD=[3+（-t2+3t）]×2=-t2+3t+3，
当-t2+3t+3=5时，解得t=1、2，
而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5，
综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，
当t=1时，此时N点的坐标（1，3），
当t=2时，此时N点的坐标（2，4）。
经过坐标原点O（0，0）和点E（4，0）故可得c=0，b=4，所以抛物线的解析式为
，由，得当x=2时，该抛物线的最大值是4；
（2）①点P不在直线ME上，
已知M点的坐标为（2，4），E点的坐标为（4，0），
设直线ME的关系式为y=kx+b，
于是得
，解得，所以直线ME的关系式为y=-2x+8，
由已知条件易得，当
时，OA=AP=，P，∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8，
∴当
时，点P不在直线ME上；②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5，
∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴OA=AP=t，
∴点P，N的坐标分别为（t，t）、（t，-t2+4t），
∴AN=-t2+4t（0≤t≤3），
∴AN-AP=（-t2+4t）-t=-t2+3t=t（3-t）≥0，
∴PN=-t2+3t，
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，
∴S=
DC·AD=×3×2=3；（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形，
∵PN∥CD，AD⊥CD，
∴S=
（CD+PN）·AD=[3+（-t2+3t）]×2=-t2+3t+3，当-t2+3t+3=5时，解得t=1、2，
而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5，
综上所述，当t=1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5，
当t=1时，此时N点的坐标（1，3），
当t=2时，此时N点的坐标（2，4）。
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