Question

抛物线y=-（x-1）²+4与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为点D．
（1）直接写出A、B、C、D四点的坐标，并求四边形ABCD的面积；
（2）在抛物线上是否存在点P，使S_△ABP=

10

9

S_ABDC？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据点的坐标性质直接在坐标系中找出即可，进而分割四边形求出即可；
（2）利用（1）中所求得出S_△ABP=10，进而求出P点纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标即可．

解答：解；（1）过点D作DE⊥x轴于点E，
∵抛物线y=-（x-1）²+4与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），
∴当y=0时，0=-（x-1）²+4，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∵抛物线与y轴相交于点C，顶点为点D，
∴C（0，3），D（1，4），
∴四边形ABCD的面积=S_△AEC+S_△COED+S_△BED
=

1

2

×1×3+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4，
=

3

2

+

7

2

+4，
=9；

（2）在抛物线上存在点P，使S_△ABP=

10

9

S_ABDC，
理由：∵S_△ABP=

10

9

S_ABDC，
∴S_△ABP=

10

9

×9=10，
∵AB=4，
∴P点纵坐标可能为：±5，
∵顶点坐标D（1，4），
∴P点纵坐标为：-5，
当y=-5，
∴-5=-（x-1）²+4
解得：x₁=4，x₂=-2，
∴P点坐标为：（4，-5）或（-2，-5）．

点评：此题主要考查了二次函数综合中点的坐标性质以及图象与坐标轴的交点坐标求法和四边形面积求法等知识，根据已知得出P点位置是解题关键．