Question

12．综合与实践
背景阅读  早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为3：4：5的三角形称为（3，4，5）型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或3$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$，5$\sqrt{2}$的三角形就是（3，4，5）型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．
实践操作 如图1，在矩形纸片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm．
第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF．
第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．

问题解决
（1）请在图2中证明四边形AEFD是正方形．
（2）请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明；
（3）请在图4中证明△AEN（3，4，5）型三角形；
探索发现
（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？请找出并直接写出它们的名称．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到∠D=∠DAE=90°，由折叠的性质得得到AE=AD，∠AEF=∠D=90°，求得∠D=∠DAE=∠AEF=90°，得到四边形AEFD是矩形，由于AE=AD，于是得到结论；
（2）连接HN，由折叠的性质得到∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′，根据正方形的想知道的∠HD′N=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）根据正方形的性质得到AE=EF=AD=8cm，由折叠得，AD′=AD=8cm，设NF=xcm，则ND′=xcm，根据勾股定理列方程得到x=2，于是得到结论；
（4）根据（3，4，5）型三角形的定义即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠DAE=90°，
由折叠的性质得，AE=AD，∠AEF=∠D=90°，
∴∠D=∠DAE=∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∵AE=AD，
∴矩形AEFD是正方形；

（2）解：NF=ND′，
理由：连接HN，由折叠得，∠AD′H=∠D=90°，HF=HD=HD′，
∵四边形AEFD是正方形，
∴∠EFD=90°，
∵∠AD′H=90°，
∴∠HD′N=90°，
在Rt△HNF与Rt△HND′中，$\left\{\begin{array}{l}{HN=HN}\\{HF=HD′}\end{array}\right.$，
∴Rt△HNF≌Rt△HND′，
∴NF=ND′；

（3）解：∵四边形AEFD是正方形，
∴AE=EF=AD=8cm，
由折叠得，AD′=AD=8cm，
设NF=xcm，则ND′=xcm，
在Rt△AEN中，
∵AN²=AE²+EN²，
∴（8+x）²=8²+（8-x）²，
解得：x=2，
∴AN=8+x=10cm，EN=6cm，
∴EN：AE：AN=3：4：5，
∴△AEN是（3，4，5）型三角形；

（4）解：图4中还有△MFN，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形，
∵CF∥AE，
∴△CFN∽△AEN，
∵EN：AE：AN=3：4：5，
∴FN：CF：CN=3：4：5，
∴△MFN是（3，4，5）型三角形；
同理，△MD′H，△MDA是（3，4，5）型三角形．

点评 本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．