题目内容

19．某服装经销商发现某款新型运动服市场需求量较大，经过市场调查发现年销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在如图1所示的一次函数关系，而该服装的进价z（元）与销售量y（件）之间的关系如下表所示．已知每年支付员工工资和场地租金等费用总计2万元．
销售数量y（件）…300400500600…
进货价格z（元）…340320300280…

（1）求y关于x的函数关系式；
（2）写出该经销商经销这种服装的年获利W（元）关于销售单价x（元）的函数关系式．当销售单价x为何值时，年获利最大？并求出这个最大值；
（3）若经销商希望该服装一年的销售获利不低于2.2万元，请你根据图2象帮助确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？

分析 （1）直接利用图象得出点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）首先求出z于y的函数关系式，进而得出z关于x的函数关系式，再求出w与x的关系式，即可得出函数最值；
（3）利用函数图象得出销售单价的范围以及销售量最大时的销售单价．

解答 解：（1）设y关于x的函数关系式为y=kx+b，
则$\left\{{\begin{array}{l}{500=300k+b}\\{400=400k+b}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=800}\end{array}}\right.$
故y关于x的函数关系式为：y=-x+800；

（2）设z关于y的函数关系式为z=k1y+b1，
则$\left\{{\begin{array}{l}{340=300{k_1}+{b_1}}\\{320=400{k_1}+{b_1}}\end{array}}\right.$，
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{{k_1}=-\frac{1}{5}}\\{{b_1}=400}\end{array}}\right.$，
故$z=-\frac{1}{5}y+400$，
则z关于x的函数关系式为：$z=-\frac{1}{5}（-x+800）+400=\frac{1}{5}x+240$，
年获利w关于销售单价x的函数关系式为：
w=（x-z）y-20000=$（x-\frac{1}{5}x-240）（-x+800）-20000$，
=$-\frac{4}{5}{x^2}+880x-212000$，
=$-\frac{4}{5}{（x-550）^2}+30000$，
当x=550时，W最大=30000，最大获利3万元；

（3）由图象可知，要使年获利不低于2.2万元，销售单价应在450元到650元之间，
又由于销售单价越低，销售最越大，所以销售单价应定为450元．

点评 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数应用等知识，利用数形结合得出单价取值范围是解题关键．

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