Question

18．如图，抛物线y=ax²+bx-3经过A（1，0），B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x-9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移后的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A（1，0），B（3，0）两点代入抛物线y=ax²+bx-3中，列方程组，求出a、b的值，写出解析式即可；
（2）先求顶点坐标M（2，1）和直线OD的解析式，并表示出平移后顶点M的坐标为（h，$\frac{1}{2}$h），由平移时，抛物线的二次项系数不变得出平移后的抛物线的解析式为：y=-（x-h）²+$\frac{1}{2}$h，①当抛物线经过点C时，列方程求出符合条件的h的值，得出取值范围；②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，列方程组，因为有一个解，则△=0，求出此时h的值，最后写出结论．

解答 解：（1）把A（1，0），B（3，0）两点代入抛物线y=ax²+bx-3中得：
$\left\{\begin{array}{l}{a+b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$      解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式：y=-x²+4x-3；
（2）y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴M（2，1），
∴直线OD的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x，
∴平移后的抛物线顶点坐标为（h，$\frac{1}{2}$h），解析式为：y=-（x-h）²+$\frac{1}{2}$h，
当x=0，y=-9，
∴C（0，-9），
当抛物线经过点C时，-h²+$\frac{1}{2}$h=-9，
解得：h=$\frac{1±\sqrt{145}}{4}$，
∴当$\frac{1-\sqrt{145}}{4}$＜h≤$\frac{1+\sqrt{145}}{4}$时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点；
当抛物线与直线CD只有一个公共点时，
得$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-h）^{2}+\frac{1}{2}h}\\{y=-2x-9}\end{array}\right.$，
则x²+（-2h-2）x+h²-$\frac{1}{2}$h-9=0，
△=（-2h-2）²-4×1×（h²-$\frac{1}{2}$h-9）=0，
h=-4，
此时抛物线y=-x²+4x-3与直线CD有唯一的公共点为（-3，-3），点（-3，-3）在射线CD上，符合题意
所以平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点时，它的顶点横坐标取值范围是当$\frac{1-\sqrt{145}}{4}$＜h≤$\frac{1+\sqrt{145}}{4}$或h=-4．

点评 本题是二次函数和一次函数的综合问题，首先利用函数图象上点的坐标求出函数的解析式，二次函数利用配方法求顶点坐标，一次函数求坐标轴上的交点：①与x轴交点，令y=0，②与y轴交点，令x=0；对于第二个问题，有点难度，与图象相结合进行理解，先求平移后二次函数特殊位置时的顶点坐标，与方程组相结合，有一个公共点，即方程组有一个解，△=0，从而得出结论．