Question

20．在平面直角坐标系中，已知直线y₁=kx+b与x轴、y轴交A（-2，0）、B（0，-2）两点，与函数y₂=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象交于C点，且AB=BC．
（1）求y₁和y₂的函数关系式；
（2）不论x取何值，y₀都取y₁与y₂二者之中的较小值，求y₀与x的函数关系式；
（3）现有二次函数y=x²-8x+c，在（2）的条件下，若函数y₀与y都随着x的增大而减小，且函数y₀与y的图象有且只有一个公共点，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据直线y₁=kx+b与x轴、y轴交A（-2，0）、B（0，-2）两点，得到方程组即可得到y₁=-x-2，如图，过C作CD⊥y轴于D，根据全等三角形的性质得到CD=OA，BD=OB，得到C（2，-4），于是得到y₂=-$\frac{8}{x}$（x＞0）；
（2）联立两函数解析式求出交点坐标，然后根据一次函数的增减性解答；
（3）根据一次函数的增减性判断出x≥2，再根据二次函数解析式求出对称轴，然后根据二次函数的增减性可得x≤4，①若函数y=x²-8x+c与y₀=-x+6只有一个交点，联立两函数解析式整理得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0求出c的值，然后求出x的值，若在x的取值范围内，则符合；②若函数y=x²-8x+c与y₀=-x+6有两个交点，先利用根的判别式求出c的取值范围，方法一：先求出x=2与x=4时的函数值，然后利用一个解在x的范围内，另一个解不在x的范围内列出不等式组求解即可；方法二：联立两函数解析式整理得到关于x的一元二次方程，并求出方程的解，再根据两个解一个在x的范围内，另一个解不在x的范围内列出不等式组求解即可．

解答 解：（1）∵已知直线y₁=kx+b与x轴、y轴交A（-2，0）、B（0，-2）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{-2=b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴y₁=-x-2，
如图，过C作CD⊥y轴于D，则△AOB≌△BDC，
∴CD=OA，BD=OB，
∴CD=2，OD=4，
∴C（2，-4），
∴m=-8，
∴y₂=-$\frac{8}{x}$（x＞0）；

（2）解$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=-x-2}\\{{y}_{2}=-\frac{8}{x}}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∴y₀=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{8}{x}（0＜x≤2）}\\{-x-2（x≥2）}\end{array}\right.$；

（3）∵对函数y₀，当y₀随x的增大而减小，
∴y₀=-x-2（x≥2），
又∵函数y的对称轴为直线x=4，且a=1＞0，
∴当x≤4时，y随x的增大而减小，
∴2≤x≤4；
①若函数y=x²-8x+c与y₀=-x-2只有一个交点，且交点在2＜x＜4范围内，
则x²-8x+c=-x-2，
即x²-7x+（c+2）=0，
△=41-4c=0，
解得c=$\frac{41}{4}$时，x₁=x₂=$\frac{7}{2}$，符合2＜x＜4，
所以，c=$\frac{41}{2}$，
②若函数y=x²-8x+c与y₀=-x-2有两个交点，其中一个在2≤x≤4范围内，另一个交点在2≤x≤4范围外，
则△=41-4c＞0，
解得c＜$\frac{41}{4}$，对于y₀=-x-2，当x=2时，y₀=-4，
当x=4时，y₀=-6，
又∵当2≤x≤4时，y随x的增大而减小，
若y=x²-8x+c与y₀=-x-2在2＜x＜4内有一个交点，
则当x=2时，y＞y₀，当x=4时，y＜y₀，
即当x=2时，y≥4；当x=4，时y≤2，
也就是$\left\{\begin{array}{l}{4-16+c＞4}\\{16-32+c＜2}\end{array}\right.$，
解得16＜c＜18，
由c＜$\frac{41}{4}$，得16＜c＜$\frac{41}{4}$，
综上所述，c的取值范围是：c=$\frac{41}{4}$或16＜c＜$\frac{41}{4}$．

点评 本题是二次函数综合题型，主要涉及联立两函数解析式求交点坐标，一次函数与二次函数的增减性，以及交点的个数的讨论求解，（3）难点在于要分只有一个交点且交点横坐标在x的取值范围内，有两个交点，但只有一个交点的横坐标在x的取值范围内，而另一交点在范围外，比较复杂且难度较大．