Question

北京国际数学家大会的会标如图27­1­6所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．

(1)试说明大正方形与小正方形是否相似？

(2)若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求大正方形与小正方形的相似比．

Answer 1

解：(1)因为正方形的四条边都相等，四个角都是直角，所以大正方形和小正方形相似．

(2)设直角三角形的较长直角边长为a，较短的直角边长为b，则小正方形的边长为a－b.

所以

把②平方，得(a＋b)²＝25，即a²＋2ab＋b²＝25③.

所以③－①，得2ab＝12，即ab＝6.

因为(a－b)²＝a²－2ab＋b²＝13－12＝1，所以小正方形的面积为1，边长为1.

又因为大正方形的面积为13，则其边长为，所以大正方形与小正方形的相似比为∶1.