题目内容
已知：Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它们两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1）易证CF+CE=AC；若当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，CF、CE、AC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）连接CD，如图2，易证∠B=∠ACD=45°，AD=BD=CD，∠CDE=∠BDF即可证明△CDE≌△BDF，可得CE=BF，即可解题；
（2）连接CD，如图3，易证∠B=∠ACD=45°，可得∠ECD=∠DBF=135°，可以求证AD=BD=CD，∠CDE=∠BDF，即可证明△CDE≌△BDF，可得CE=BF，即可解题．
（2）连接CD，如图3，易证∠B=∠ACD=45°，可得∠ECD=∠DBF=135°，可以求证AD=BD=CD，∠CDE=∠BDF，即可证明△CDE≌△BDF，可得CE=BF，即可解题．
解答：证明：图2中该结论成立，图3中该结论不成立，新结论为：CF=AC+CE；
理由：连接CD，
（1）如图2，∵等腰直角△ABC中，D是AB中点，
∴AD=BD=CD，∠B=∠ACD=45°，
∵∠BDF+∠CDF=90°，∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF，
∵BC=CF+BF，AC=BC，
∴AC=CF+CE；
（2）连接CD，如图3，
∵等腰直角△ABC中，D是AB中点，
∴AD=BD=CD，∠B=∠ACD=45°，
∴∠ECD=∠DBF=135°，
∵∠BDF+∠BDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF，
∵CF=BC+BF，AC=BC，
∴CF=AC+CE．
理由：连接CD，
（1）如图2，∵等腰直角△ABC中，D是AB中点，
∴AD=BD=CD，∠B=∠ACD=45°，
∵∠BDF+∠CDF=90°，∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
|
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF，
∵BC=CF+BF，AC=BC，
∴AC=CF+CE；
（2）连接CD，如图3，
∵等腰直角△ABC中，D是AB中点，
∴AD=BD=CD，∠B=∠ACD=45°，
∴∠ECD=∠DBF=135°，
∵∠BDF+∠BDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
|
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF，
∵CF=BC+BF，AC=BC，
∴CF=AC+CE．
点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△CDE≌△BDF是解题的关键．
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