Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，∠CAD=∠CBD=15°，在AD的延长线上有两点M，E，使DM=CD，CE=AC．
（1）说明AD=BD的理由．
（2）判断DE是否平分∠CDB，请说明理由；
（3）若ME=8，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）先根据等腰直角三角形的性质及已知条件得出∠DAB=∠DBA=30°，则AD=BD；
（2）证明CD是边AB的垂直平分线，得出∠ACD=∠BCD=45°，然后根据三角形外角的性质求出∠CDE=∠BDE=60°即可；
（3）延长CD至点G，交AB于点G，连接CM，证得△CME≌△CDA，得出DA=DB=8，进一步求得AB，CG，DG，求得CD即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD；

（2）∵BD=AD，
∴D在AB的垂直平分线上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC；

（3）如图，

∵DM=DC，∠CDE=60°，
∴△DCM为等边三角形，
∴∠CDM=∠CMD，
∴∠ADC=∠CME，
∵CE=AC，
∴∠E=∠DAC，
在△CME和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠DAC}\\{∠CME=∠ADC}\\{CD=CM}\end{array}\right.$，
∴△CME≌△CDA，
∴AD=ME=8，
延长CD至点G，交AB于点G，
∴DG=$\frac{1}{2}$AD=4，AB=2AG=2$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=8$\sqrt{3}$，
∴CG=AG=4$\sqrt{3}$，
∴CD=CG-DG=4$\sqrt{3}$-4．

点评 此题考查三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，注意结合图形，灵活运用条件解决问题．