Question

18．已知△ABC，AB=AC，⊙O经过点B、C两点，点D在AC边上，BC=BD，过点B作AC的垂线垂足为E，交⊙O于F，延长BD交⊙O于H，连接CH、DF．
（1）如图1，求证：∠BHC=∠BFD；
（2）如图2，当点A在⊙O上时，连接AF，求证：AF⊥BH；
（3）如图3、在（2）的条件下，若AD=3DE，PH=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，求⊙的半径．

Answer 1

分析 （1）先判断出△BDF≌△BCF，得出∠DFB=∠CFB，再用同弧所对的圆周角相等即可得出结论；
（2）先得出∠DBF=∠CAF，进而得出∠DBF+∠BDC=90°，得出∠CAF+∠ADP=90°，即可得出结论；
（3）先由勾股定理得BE=3a，进而得出AP=$\frac{18\sqrt{10}}{5}$，AH=12=AD=3a，AC=5a=20=AB，再判断出∠OAN=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$∠CBD=∠DBE，AN=$\frac{1}{2}$AC=10，进而得出ON=AN•tan∠DBE=$\frac{10}{3}$，根据勾股定理得，OA=$\frac{10\sqrt{10}}{3}$．

解答 解：（1）如图1，

连接CF，
∵BC=BD   BF⊥CD于E
∴∠DBF=∠CBF，
∵BD=BC，∠DBF=∠CBF，BF=BF
∴△BDF≌△BCF，
∴∠DFB=∠CFB，
∵∠BFC=∠BHC
∴∠BHC=∠DFB，

（2）由（1）可知，∠DBF=∠CBF
∵∠CBF=∠CAF，
∴∠DBF=∠CAF，
∵BE⊥CD
∴∠DBF+∠BDC=90°，
又∠BDC=∠ADP，
∴∠CAF+∠ADP=90°
∴AF⊥BH，

（3）连接AH
∵BC=BD   BF⊥CD于E
∴DE=EC
∵AD=3DE，
设DE=EC=a、则AD=3a
∴AC=AB=5a  AE=4a，
∵BF⊥CD于E
∴∠AEB=90°        
由勾股定理得BE=3a
∴tan∠DBE=$\frac{a}{3a}$=$\frac{1}{3}$=tan∠PAH
∵PH=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴AP=$\frac{18\sqrt{10}}{5}$，AH=12=AD=3a，
∴AC=5a=20=AB
连接AO、作ON⊥AC于N，
∵AB=AC，
∴∠OAN=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$∠CBD=∠DBE，AN=$\frac{1}{2}$AC=10，
在Rt△AON中，tan∠DBE=$\frac{1}{3}$，
∴ON=AN•tan∠DBE=$\frac{10}{3}$，
根据勾股定理得，OA=$\frac{10\sqrt{10}}{3}$

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，解（1）的关键是判断出△BDF≌△BCF，解（2）的关键是判断出∠DBF=∠CAF，解（3）的关键是求出AB=AC=20．