如图所示.四边形ABCD.BEFC都是正方形.点P是AB边上的一个动点.过点P作DP的垂线交对角线BF于点Q．(1)如图①所示.当点P为AB中点时．①通过测量DP.PQ的长度.可知DP与PQ满足的数量关系是DP=PQ,②若M是AD的中点.连接MP.可知MP与BQ满足的数量关系是MP=BQ,③请证明①.②两个数量关系．(2)如图②所示.当点P在AB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．如图所示，四边形ABCD，BEFC都是正方形，点P是AB边上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作DP的垂线交对角线BF于点Q．
（1）如图①所示，当点P为AB中点时．
①通过测量DP，PQ的长度，可知DP与PQ满足的数量关系是DP=PQ；
②若M是AD的中点，连接MP，可知MP与BQ满足的数量关系是MP=BQ；
③请证明①、②两个数量关系．
（2）如图②所示，当点P在AB边上的任意位置时，其他条件不变，请问：（1）中猜想①的两条线段数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，试说明理由．

分析（1）①DP=PQ②MP=BQ
③取AD的中点M，连接MP，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△DMP≌△PBQ，从而得到DP=PQ，MP=BQ；
（2）成立，在AD上截取AM=AP，证明△DMP≌△PBQ即可．

解答解：（1）①DP=PQ
②MP=BQ
③取AD的中点M，连接MP，如图①所示，
∵四边形ABCD是正方形，DP⊥PQ；
∴∠ADP+∠DPA=90°，∠BPQ+∠DPA=90°
∴∠ADP=∠BPQ，
∵AM=AP，
∴∠AMP=45°，
∵∠EBF=45°，
∴∠DMP=∠PBQ=135°，
∵M是AD的中点，P为AB中点，
∴DM=PB，
在△DMP和△PBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠BPQ}\\{DM=PB}\\{∠DMP=∠PBQ}\end{array}\right.$，
∴△DMP≌△PBQ（ASA），
∴DP=PQ，MP=BQ；
（2）成立，如图②，在AD上截取AM=AP，
∵四边形ABCD是正方形，DP⊥PQ；
∴∠ADP+∠DPA=90°，∠BPQ+∠DPA=90°
∴∠ADP=∠BPQ，
∵AM=AP，
∴∠AMP=45°，DM=PB，
∵∠EBF=45°，
∴∠DMP=∠PBQ=135°，
在△DMP和△PBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠BPQ}\\{DM=PB}\\{∠DMP=∠PBQ}\end{array}\right.$，
∴△DMP≌△PBQ（ASA），
∴DP=PQ，MP=BQ．