Question

1．在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．
（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；
（2）若四边形BFDE为菱形，且AB=1，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，可得∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD，AB∥CD，又由折叠的性质可得：∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠FDB=$\frac{1}{2}$∠CBD，即可证得BE∥DF，然后由DE∥BF，即可证得四边形BFDE为平行四边形．
（2）首先由菱形与矩形的性质，求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠BCD=90°，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
由折叠的性质可得：∠EBD=$\frac{1}{2}$∠ABD，∠FDB=$\frac{1}{2}$∠CBD，
∴∠EBD=∠FDB，
∴EB∥DF，
∵ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形．

（2）解：∵四边形BFDE为菱形，
∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∵∠A=90°，AB=1，
∴AE=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，BE=2AE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意折叠中的对应关系．