题目内容

20．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，请写出x与y之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）请画出上述函数的大致图象．
（3）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
小丽解答过程如下：
解：（1）根据题意，可列出表达式：
y=（60-x）（300+20x）-40（300+20x），
即y=-20x2+100x+6000．
∵降价要确保盈利，∴40＜60-x≤60．解得0≤x＜20．
（2）上述表达式的图象是抛物线的一部分，函数的大致图象如图1：
（3）∵a=-20＜0，
∴当x=-$\frac{b}{2a}$=2.5时，y有最大值，y=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=6125．
所以，当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润为6125．
老师看了小丽的解题过程，说小马第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）（3）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）（3）中正确的答案，或说明错误原因．

分析 （1）根据题意即可得到结论；
（2）根据函数解析式得到相关数据，画出图象即可；
（3）根据二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：（1）自变量x的取值范围为：0≤x≤20，且x为整数；
（2）∵y=-20x2+100x+6000=-20（x-$\frac{5}{2}$）2+6125，
∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$，顶点坐标（$\frac{5}{2}$，6125），
上述表达式的图象是抛物线的一部分，函数的大致图象如图：
（3）y=-20x2+100x+6000，
=-20（x-2.5）2+6125，
∵a=-20＜0，
∴x=2或3时，-20×0.25+6125=6120，
∴w的最大值为6120元．

点评 此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值在x=-$\frac{b}{2a}$时取得．

练习册系列答案
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 等级 得分x（分） 频数（人）
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 B 90≤x＜95 m
 C 85≤x＜90 n
 D 80≤x＜85 24
 E 75≤x＜80 8
 F 70≤x＜75 4
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
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    重量（千克）
费用（元）		0.5134…
甲公司11225267…
乙公司11195167…
（2）请分别写出甲乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；
（3）小明应选择哪家快递公司更省钱？
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A．2B．4C．6D．8
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